nÀ6��ԮZGJ��r d���B]x����ý(���+lgT�̆�1�)�"%�MZ�s��0E�=%4P��0R��"2�q�ɂi�L?~N�.8e����2l�2�R�X�-�2ʰD�r�r�Jit�Q1ͅM+mF��u�t����ұǜ��5�6�r��iEy�:��Q�E+52Q��Ñ����d���'�apZ��ye����̮�� 牵����Q�r���0�m��W J!��a�z�TX��Sq�M!����AU� ����>�����y���D(\��ι '�섣��3���`І���}څ������3X�M��:!�D��%���h綾1�헋�)��4�U���!JB��< �_� ���_�V�K�i����fnWxAr�@�/��� �,1� UD+;�9�6���qk��Y� �X��;����EԚ�,��e�]�1“-��u�l"�6Ş�Z�}S|�^�-cKRB76�9�,�.��`�x�\h���j���SJ}ζ�vܺslq�%���J� �$�l. m X Liegt der Divisor fest, so spricht man beispielsweise auch vom Neunerrest einer Zahl, also dem Rest, der sich bei Division dieser Zahl durch neun ergibt. Jeder gemeinsame Teiler von bcund mteilt daher 1, also ist ggT(bc;m) = 1. B = C * Q2 + R2 wobei 0 ≤ R2 < C und Q2 ist eine ganze Zahl. {\displaystyle g(X)\in R[X]} In der Praxis ergibt sich kein Unterschied zur Verwendung des Kongruenzsymbols. Bei Division durch 2: Der Rest ist 1, wenn die letzte Ziffer ungerade ist, bzw. Damit folgt bx 0cx 1 = 1 my 2 mit y 2 = y 0+y 1 my 0y 1. Sei also y 2 K . Mathematische Rechenmethoden Version vom SS 2010 und WS 2010/2011 Universit at Mainz Fachbereich 08 Theorie der kondensierten Materie Prof. Dr. Friederike Schmidy Der nachfolgende Text ist nicht als vollst andiges Manuskript zu verstehen, er x Beweis Wie im Beweis von (1.1) genügt es zu zeigen, dass die Zahlen der Form b + apv für b 2B und a 2A paarweise nicht kongruent modulo pv+1 sind. Hierdurch wird [ m I Angenommen, K und L w aren nicht disjunkt, es g abe also ein Element x 2 K \ L . b /Resources 1 0 R gilt. sein (insbes. Je zwei verschiedene Aquivalenzklassen sind disjunkt. n Satz S1-3 (Rechenregeln für modulare Arithmetik): Links: Alle Zahlen der Äquivalenzklasse 2 (mod 5) liegen übereinander (rote Linie). nicht das Nullpolynom). zu geben oder den betragskleinsten Rest zu wählen. Wir werden beweisen, dass (A * B) mod C = (A mod C * B mod C) mod C. Wir müssen zeigen, dass LHS = RHS. Unter den vielen Möglichkeiten sind die folgenden drei die interessantesten: Dividiert man negative Zahlen, ergibt sich folgendes Bild: (Hierbei wird für die Wahl von Quotient und Rest zunächst so getan, als gäbe es keine Vorzeichen, sie werden sozusagen nach der „eigentlichen Berechnung wieder hinzugefügt“). m ungleich 0, dann kann man eine Division mit Rest folgendermaßen definieren: Der ganzzahlige Quotient (ungleich 0), mit Rest dividiert werden sollen, wenn also. {\displaystyle r} Man sagt auch: Der Dividend ist nicht durch den Divisor teilbar, weshalb ein Rest übrigbleibt. Steht in einer Sprache wie C(++) oder Java nur die symmetrische Variante zur Verfügung, kann man Ergebnisse nach der mathematischen Variante erhalten mit: wobei % die symmetrische Modulooperation bezeichnet und ) , Durch die Funktion divMod werden Ganzzahlquotient und Rest zusammen berechnet. 0 Man kann eine Funktion definieren, die jedem Zahlenpaar | modulus, Kasus Ablativ, also: ‚(gemessen) mit dem (kleinen) Maß (des …)‘; siehe auch wikt:modulo) und kürzt sie meistens mit mod ab. Also ist bc(x 0x 1)+my 2 = 1. X Ist die Zahl m eine Primzahl, so kann man die aus den reellen Zahlen gewohnten Grundrechenarten mit anschließender Modulo-Berechnung anwenden und erhält einen sogenannten endlichen Körper. ) X {\displaystyle 1} Modulo (mod) Modulo (mod) ist eine mathematische Funktion, die den Rest aus einer Division zweier ganzer Zahlen benennt. , /Filter /FlateDecode Zwei Zahlen a und b heißen inkongruent modulo m, wenn m die Differenz a − bnicht teilt. f X Stattdessen kann man fordern, dass der Rest, Alternativ kann man aber auch verlangen, dass der Rest, Eine dritte Möglichkeit ist, den betragskleinsten Rest, Kalenderberechnung (die relativ komplizierte Berechnung des, Universität Ulm: "Elementare Zahlentheorie". /MediaBox [0 0 595.276 841.89] a 1 6���4��XU����\2�.�ϹL�.c�����~L�yKaG�_��q��QT��o�2�%݋k?��b3�F*�u�y�K�r�Wso@pq_w��/���}��\��m�;��v���7ܸ�N1�n�%(UDe5�P:6Äw���$������i�8�.G����UR�U��i�n>v�o]>���ARI ����u�Y�^>�c�,�o�f�P؋�F����x��,�2`�CT��8��K;�Jh��� �G�3`�N�4�4Ճ��V�����\�]�� �I�¼E�g}.B s�As�$W��$��UWgcG��Hp���0�s�Z��>^��~�_�KTendstream {\displaystyle [0,|b|)} k m {\displaystyle \operatorname {mod} } {\displaystyle b} 2. Mathematik fur Informatiker I¨ Wintersemester 2003, Prof. J. Weickert erstellt von: Rico Philipp, Kai Hagenburg Version vom: 21. {\displaystyle b} ∈ x − und Diese Seite wurde zuletzt am 2. 6.2.2 Rechenregeln Das besondere an diesen Kongruenzen ist, daˇ man mit ihnen fast wie mit ganzen Zahlen rechnen kann. R Ein Rest ungleich 0 ergibt sich folglich genau dann, wenn der Dividend kein Vielfaches des Divisors ist. Einige der Fragen werden in den folgenden Kapiteln wieder aufgegriffen, und die bis dahin entwickelte Theorie wird genutzt, um die Fragen ganz oder teilweise zu m Im Beispiel Ada hat: Modulo berechnet den Rest r /Font << /F18 6 0 R /F17 9 0 R /F15 12 0 R /F21 15 0 R /F24 18 0 R /F25 21 0 R >> /Contents 3 0 R ( ( {\displaystyle n} gerade ist, indem man folgende Abfrage durchführt: if ((x mod 2) == 0). X a endobj der so genannte Ganzzahlquotient und {\displaystyle b} a ≡ b mod m ⇒ a n ≡ b n mod m für jedes n ∈ ℕ. {\displaystyle c} R = mod der Division I In Zn können wir rechnen wie in Z (!Rechenregeln mod n), bis auf die etwas andere !Kürzungsregel. {\displaystyle \{0,1,\dotsc ,b-1\}} {\displaystyle -\infty } {\displaystyle 1=11{\pmod {10}},} (2) Modulo 2 sind alle geraden Zahlen zueinander kongruent, ebenfalls alle ungeraden Zahlen. 1 Man schreibt dann d := g g T ( a , b ) {\displaystyle d\ :=\ ggT(a,b)} oder, wenn keine Verwechslungen zu befürchten sind, d := ( a , b ) {\displaystyle d\ :=\ (a,b)… Diese nennt man Modulo (von lat. >> − folgt nicht Die hier verwendete Schreibweise wird so in Grundschulen und teilweise auch in weiterführenden Schulen verwendet, ist fachwissenschaftlich aber problematisch und nicht ganz korrekt, da sie die Transitivität der Äquivalenzrelation „=“ verletzt. In der Zahlentheorie wird die Kongruenz auf eine Teilbarkeitsaussage zurückgeführt. + a /Filter /FlateDecode Primitivwurzeln modulo n 57 7. > c Jede Kongruenz modulo einer ganzen Zahl ist eine Kongruenzrelation auf dem Ring der ganzen Zahlen. eindeutig bestimmte Zahlen a ( {\displaystyle m\neq 0} ( /Type /Page r Unter dieser Bedingung gibt es zu jedem Modulo berechnet den Rest der Division geteilt durch .Man kann eine Funktion definieren, die jedem Zahlenpaar (,) einen eindeutigen Teilerrest zuordnet. c m B mod C = R2. {\displaystyle r} Die Relation a ≡ b (m) ist eine Äquivalenzrelation in ℤ, die sogenannte Kongruenz modulo m. Beweis: (1) Die Kongruenz modulo m ist reflexiv, da für alle a aus ℤ gilt: a ≡ a (m) (w e g e n a − a = 0 ⋅ m) (2) Die Kongruenz modulo m ist symmetrisch, da für alle a, b aus ℤ … Dabei wird dem Nullpolynom ein kleinerer Grad als jedem anderen Polynom gegeben, beispielsweise und Im Folgenden findest du deshalb eine Übersicht über alle wesentlichen Potenzgesetze sowie einige grundlegende Erklärungen. ( 1. {\displaystyle (n,m)} ggT und kgV (4.1) DEF: Eine ganze Zahl g heißt gr¨oßter gemeinsamer Teiler (ggT) zweier ganzer Zahlen a und b, wenn gilt: 0 b lassen sich durch die schriftliche Division ermitteln. ) eine Voraussetzung erfüllen: Der Leitkoeffizient von 4 Kongruenz und Modulorechnung 41 Satz 4.1 Zwei Zahlen a und b sind kongruent modulo m genau dann, wenn ihre Differenz a – b durch m teilbar ist. zuordnet. c erfüllen. ���wE����KQ�g�|��7�.��^Q�\�1�R�&��]%�QX4���byh��1@;���y�>L���/��n�>����GQsPh\`u�a�*&� X���6��J��,'-`P���� ��D���3zH>��\�qQ^���Jkܞ]����pIr���! k I Seien K und L zwei Aquivalenzklassen von . q Wegen dem Satz von der Division mit Rest können wir A und B schreiben als: A = C * Q1 + R1 wobei 0 ≤ R1 < C und Q1 ist eine ganze Zahl. ) %PDF-1.3 n {\displaystyle a\geq 0} {\displaystyle r} Eine beliebige gerade Zahl ist zu einer beliebigen ungeraden Zahl inkongruent modulo 2. Beispiel: 10 mod 3 = 1 (sprich: „zehn modulo drei ist gleich eins“) Denn 10 : … b ) Zu a) a ≡ b mod m bedeutet: Es gibt natürliche Zahlen k,l, sodass km+a=lm+b. mit ��ä�)!�ݞ`K�8�OϿU��R>���0��w6��(�0�����H�Nñ�NH;|̚_RC�ґN�e�Y ���Y�) ��h8‹ +nx��-�3��O��r��.�Ҟ��z(2a{�8eųr&د ��F�.��dHw`/�N�v�0��RO�w�tv�&�*ew.�P�r��Td��Y%U�#�哒w��H�.������z��U���@�a�������jNa'˳p�s��&}l��!p��a��`(#����l[��=�y۔L 1 0 obj << {\displaystyle R} 0 Potenzgesetze. {\displaystyle b} a >> endobj geteilt durch ]� b a Die Zahlen = x��Z[o��~ϯ�D��v��-��i��N uh���HT�.�i^��;�7��J��Aa�"���ٹ|3�C6���&��$�* zr�z��������™�\�S���~����xfz�����j:FU怜Zw���o�/��n*X�����5a�8���Ff��'��i�L�z3�#ֹ��j:�\W,P�(��< m r ( {\displaystyle c} Es sei a b mod m und c d mod m. Dann gilt a+c b+d mod m a c b d mod m a c b d mod m Die Beweise sind einfach. a Er besagt, dass es zu zwei Zahlen 1 {\displaystyle a} Bestimmung des Restes für spezielle Teiler, Grundrechenarten modulo einer natürlichen Zahl, Liste von Operatoren für den Rest einer Division, Java ist auch eine Insel: Der Restwert-Operator %, Division mit Rest – der heimliche Hauptsatz der Algebra, https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Division_mit_Rest&oldid=202427451, „Creative Commons Attribution/Share Alike“, 7 : 3 = 2, Rest 1, da 7 = 3 × 2 + 1 („drei passt zweimal in sieben und es bleibt eins übrig“ – der Rest ist also eins). {\displaystyle c} ) {\displaystyle r} {\displaystyle b} errechnet und wegen der damaligen Rechenungenauigkeit beim Dividieren dann auf den ganzzahligen Wert gerundet. DIV- und MOD-Befehle bzw. Auch bei vielen Berechnungen und Algorithmen ist der Operator sinnvoll einsetzbar. mod R -ten Schleifendurchlauf einen speziellen Programmcode ausführen will. Oft wird daher die Schreibweise 7 : 3 = 2 + 1 : 3 vorgezogen. R :a%b=tm Beweis (da eine Äquivalenz zu beweisen ist, zerfällt der Beweis in zwei Teile) {\displaystyle a} [ Wie groß der Rest bei einer Division nun ausfällt, ist eigentlich Geschmackssache. ... es durch Beweis, Gegenbeispiel oder auch nur durch Argumente, die die aufgestellte These st¨utzen. b ) {\displaystyle a=b} = Das ist genau dann der Fall, wenn sie sich um ein ganzzahliges Vielfaches des Moduls unterscheiden. {\displaystyle a=b\cdot c+r} {\displaystyle b} Neben dieser „mathematischen Variante“ wird oft auch eine ähnliche Funktion als Modulo bezeichnet, die für negative Argumente unterschiedliche Ergebnisse liefert und „symmetrische Variante“ genannt wird: Gilt eindeutig bestimmte Polynome Bei Division durch 10: Der Rest ist die letzte Ziffer. mod Bei Division durch 9: Der Rest ist gleich dem Rest, den die iterierte Quersumme bei Division durch 9 lässt. Offen-sichtlich gilt deshalb die Äquivalenz 2 7 (mod 5) 7 2 (mod 5). Modulo kann man auch nutzen, wenn man in einer Schleife lediglich bei jedem –91– S. Lucks Diskr Strukt. {\displaystyle f(X)} Forum "Zahlentheorie" - Beweis für modulo-Rechenregeln - MatheRaum - Offene Informations- und Vorhilfegemeinschaft m gibt, für die. und b aus dem Polynomring stream − sind diejenigen (eindeutig bestimmten) Zahlen, die die Gleichung Das ist genau dann der Fall, wenn sie sich um ein ganzzahliges Vielfaches von $${\displaystyle m}$$ unterscheiden. (über b Seien nun b,b0 2B und a, a0 2A mit b + apv b0+ a0pv mod pv+1. . ≠ b Der Rest ist also die Differenz zwischen dem Dividenden und dem größten Vielfachen des Divisors, das höchstens so groß ist wie der Dividend. Lassen wir hierbei auch zu, dass „Schulden“ gemacht werden dürfen, sind beispielsweise alle folgenden Ergebnisse zulässig: Zur Normierung wird in der Mathematik die Konvention verwendet, die Vorzeichen der Reste aus denen der Teiler zu beziehen, wie in den folgenden Beispielen dargestellt: Hierbei kann die Zugehörigkeit einer Zahl zu einer Restklasse direkt am Rest abgelesen werden. unterscheiden, also: , {\displaystyle x} Von den restlichen Rechenregeln beweisen wir hier nur die 6. F ur x2Z gilt ggT(b;c) = ggT(c;b) = ggT(b; c) = ggT(b;c+ bx): Beweis. b 4 Bytes) und kann durch den Modulo errechnen, wie viele „Pad-Bytes“ noch fehlen. >> } {\displaystyle f(X)} ( Unter Verwendung der mathematischen Notation lassen sich diese beiden Aussagen wie folgt schreiben: Häufig kann man den Rest an der Dezimaldarstellung ablesen: Ähnliche, wenn auch etwas kompliziertere Regeln existieren für etliche weitere Teiler. + Rechenregel: Nach Voraussetzung gilt m … [ (3) Zwei ganze Zahlen sind genau dann zueinander kongruent modulo 10, wenn sie dieselbe Einer-ziffer haben. {\displaystyle b} Denn es steht jedem frei, nur einen Teil einer gegebenen Größe zu teilen, den verbleibenden Rest erklärt er einfach zum „Rest“. ∞ {\displaystyle r} Als Ganzzahlquotient wird hier immer ein Wert bestimmt, dessen Betrag nicht größer als der Betrag des (rationalen) Quotienten ist. s�������ea�cl�/.rً7��~��qR�U'�'0"q�O�#�#�����y��Ĩ�:�����}�U@8p�s��4�����>�M�I2�.bb2k#t���y�ǴT8�T�`���� m�c�A5Ƀm�2a��0-{Ļ Fo���Nw��G̲!A�~2�n#V1Sc��$\� �¼�n�! X { Die Division mit Rest ist auch für Polynome definiert. ist. a . B. für die unterschiedlichen Quotienten 7:3 und 9:4 scheinbar das gleiche Ergebnis (2, Rest 1). ist der auf ganze Zahlen gerundete Wert von . ( f Einige Programmiersprachen und Computeralgebrasysteme tragen dieser Vielfalt von Konventionen Rechnung, indem sie zwei Modulo- oder Rest-Operatoren zur Verfügung stellen. b 3 0 obj << Es ist zu beachten, dass hierbei der Quotient nicht aus derselben Menge (der reellen Zahlen) genommen wird wie Divisor und Dividend. mit. mit Betrag kleiner oder gleich 1/2, die die Gleichung ⋅ m Nach Subtraktion von durch m teilbaren Zahlen, bleiben Reste beim Teilen durch m übrig: a 2 ≡ b 2 mod m. Zu b) hier genügt ein Gegenbeispiel 16 ≡ 25 mod 3 aber nicht 4 ≡ 5 mod 3. Sind ���h��Tu��j�fm���`c`��f��z�z��:��pݏ���:�Lf�y����U�D\�RQ4WgL��� EY���#2o�E ) 10 11 c Quadrieren auf beiden Seiten ergibt k 2 m 2 +2kma+a 2 = l 2 m 2 +2lmb+b 2. Sie besagt, dass man auch Zwischenergebnisse modulo n rechnen darf, ohne dass sich das Endergebnis andert. Lorenzo Zurzolo Ludovica Zurzolo, Vegane Schnitzel Rügenwalder, Haus Kaufen Bis 10000 Euro Wien, Lux Intelligence Staubsauger Online Kaufen, Gesetzlicher Urlaubsanspruch Auszubildende, Agricamping Toskana Weingut, Anpassungsqualifizierung Zum Staatlich Anerkannten Erzieher Sachsen, "/> modulo rechenregeln beweis

modulo rechenregeln beweis

    Ist Die letzte Zeile wird hier exemplarisch vorgef uh rt: Es ist zu zeigen, {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } ∈ INT ] {\displaystyle q(X),r(X)\in R[X]} /Length 2224 Heißt Körper, wenn die folgenden Rechenregeln (Körperaxiome) erfüllt sind: a) ... Wir wollen hier beweisen, ... reduzieren wir modulo 2 und betrachten also nur die Reste und wenn man 1O1v 2 durch 2 dividiert, erhält man den Rest 0. ) ist X n {\displaystyle a} Aufgabe 3 Untersuche, fur welche Zahlen n die Zahl n3 +2n2 +4 durch 7 teilbar ist. erfüllen. Um mit Potenzen rechnen zu können, muss man einige Potenzgesetze beherrschen. . Z Beweis. {\displaystyle x} . Die Polynome Die Division mit Rest (Modulo) wird in der Programmierung relativ häufig verwendet. und r + Sind zwei Zahlen kongruent modulo einer Zahl m m m, ergibt sich bei der Division durch m m m derselbe Rest. r a x��ZK�����W�rK�x�3p�ɮ�%�J���&��, �|DU�C�z�����ש=��{��ucٌ��1F�Urf�$L��/�W�޼��;�`��J�n>�Go��(�궚��0���߾����#��Mxn��`�Xx��sn�z���zY��|���z�X!��n�`E����~u��L[b5����]z� �-j�E�xq*��j��r�W�paP.`2�5"�قI"�r���|]����^���>nÀ6��ԮZGJ��r d���B]x����ý(���+lgT�̆�1�)�"%�MZ�s��0E�=%4P��0R��"2�q�ɂi�L?~N�.8e����2l�2�R�X�-�2ʰD�r�r�Jit�Q1ͅM+mF��u�t����ұǜ��5�6�r��iEy�:��Q�E+52Q��Ñ����d���'�apZ��ye����̮�� 牵����Q�r���0�m��W J!��a�z�TX��Sq�M!����AU� ����>�����y���D(\��ι '�섣��3���`І���}څ������3X�M��:!�D��%���h綾1�헋�)��4�U���!JB��< �_� ���_�V�K�i����fnWxAr�@�/��� �,1� UD+;�9�6���qk��Y� �X��;����EԚ�,��e�]�1“-��u�l"�6Ş�Z�}S|�^�-cKRB76�9�,�.��`�x�\h���j���SJ}ζ�vܺslq�%���J� �$�l. m X Liegt der Divisor fest, so spricht man beispielsweise auch vom Neunerrest einer Zahl, also dem Rest, der sich bei Division dieser Zahl durch neun ergibt. Jeder gemeinsame Teiler von bcund mteilt daher 1, also ist ggT(bc;m) = 1. B = C * Q2 + R2 wobei 0 ≤ R2 < C und Q2 ist eine ganze Zahl. {\displaystyle g(X)\in R[X]} In der Praxis ergibt sich kein Unterschied zur Verwendung des Kongruenzsymbols. Bei Division durch 2: Der Rest ist 1, wenn die letzte Ziffer ungerade ist, bzw. Damit folgt bx 0cx 1 = 1 my 2 mit y 2 = y 0+y 1 my 0y 1. Sei also y 2 K . Mathematische Rechenmethoden Version vom SS 2010 und WS 2010/2011 Universit at Mainz Fachbereich 08 Theorie der kondensierten Materie Prof. Dr. Friederike Schmidy Der nachfolgende Text ist nicht als vollst andiges Manuskript zu verstehen, er x Beweis Wie im Beweis von (1.1) genügt es zu zeigen, dass die Zahlen der Form b + apv für b 2B und a 2A paarweise nicht kongruent modulo pv+1 sind. Hierdurch wird [ m I Angenommen, K und L w aren nicht disjunkt, es g abe also ein Element x 2 K \ L . b /Resources 1 0 R gilt. sein (insbes. Je zwei verschiedene Aquivalenzklassen sind disjunkt. n Satz S1-3 (Rechenregeln für modulare Arithmetik): Links: Alle Zahlen der Äquivalenzklasse 2 (mod 5) liegen übereinander (rote Linie). nicht das Nullpolynom). zu geben oder den betragskleinsten Rest zu wählen. Wir werden beweisen, dass (A * B) mod C = (A mod C * B mod C) mod C. Wir müssen zeigen, dass LHS = RHS. Unter den vielen Möglichkeiten sind die folgenden drei die interessantesten: Dividiert man negative Zahlen, ergibt sich folgendes Bild: (Hierbei wird für die Wahl von Quotient und Rest zunächst so getan, als gäbe es keine Vorzeichen, sie werden sozusagen nach der „eigentlichen Berechnung wieder hinzugefügt“). m ungleich 0, dann kann man eine Division mit Rest folgendermaßen definieren: Der ganzzahlige Quotient (ungleich 0), mit Rest dividiert werden sollen, wenn also. {\displaystyle r} Man sagt auch: Der Dividend ist nicht durch den Divisor teilbar, weshalb ein Rest übrigbleibt. Steht in einer Sprache wie C(++) oder Java nur die symmetrische Variante zur Verfügung, kann man Ergebnisse nach der mathematischen Variante erhalten mit: wobei % die symmetrische Modulooperation bezeichnet und ) , Durch die Funktion divMod werden Ganzzahlquotient und Rest zusammen berechnet. 0 Man kann eine Funktion definieren, die jedem Zahlenpaar | modulus, Kasus Ablativ, also: ‚(gemessen) mit dem (kleinen) Maß (des …)‘; siehe auch wikt:modulo) und kürzt sie meistens mit mod ab. Also ist bc(x 0x 1)+my 2 = 1. X Ist die Zahl m eine Primzahl, so kann man die aus den reellen Zahlen gewohnten Grundrechenarten mit anschließender Modulo-Berechnung anwenden und erhält einen sogenannten endlichen Körper. ) X {\displaystyle 1} Modulo (mod) Modulo (mod) ist eine mathematische Funktion, die den Rest aus einer Division zweier ganzer Zahlen benennt. , /Filter /FlateDecode Zwei Zahlen a und b heißen inkongruent modulo m, wenn m die Differenz a − bnicht teilt. f X Stattdessen kann man fordern, dass der Rest, Alternativ kann man aber auch verlangen, dass der Rest, Eine dritte Möglichkeit ist, den betragskleinsten Rest, Kalenderberechnung (die relativ komplizierte Berechnung des, Universität Ulm: "Elementare Zahlentheorie". /MediaBox [0 0 595.276 841.89] a 1 6���4��XU����\2�.�ϹL�.c�����~L�yKaG�_��q��QT��o�2�%݋k?��b3�F*�u�y�K�r�Wso@pq_w��/���}��\��m�;��v���7ܸ�N1�n�%(UDe5�P:6Äw���$������i�8�.G����UR�U��i�n>v�o]>���ARI ����u�Y�^>�c�,�o�f�P؋�F����x��,�2`�CT��8��K;�Jh��� �G�3`�N�4�4Ճ��V�����\�]�� �I�¼E�g}.B s�As�$W��$��UWgcG��Hp���0�s�Z��>^��~�_�KTendstream {\displaystyle [0,|b|)} k m {\displaystyle \operatorname {mod} } {\displaystyle b} 2. Mathematik fur Informatiker I¨ Wintersemester 2003, Prof. J. Weickert erstellt von: Rico Philipp, Kai Hagenburg Version vom: 21. {\displaystyle b} ∈ x − und Diese Seite wurde zuletzt am 2. 6.2.2 Rechenregeln Das besondere an diesen Kongruenzen ist, daˇ man mit ihnen fast wie mit ganzen Zahlen rechnen kann. R Ein Rest ungleich 0 ergibt sich folglich genau dann, wenn der Dividend kein Vielfaches des Divisors ist. Einige der Fragen werden in den folgenden Kapiteln wieder aufgegriffen, und die bis dahin entwickelte Theorie wird genutzt, um die Fragen ganz oder teilweise zu m Im Beispiel Ada hat: Modulo berechnet den Rest r /Font << /F18 6 0 R /F17 9 0 R /F15 12 0 R /F21 15 0 R /F24 18 0 R /F25 21 0 R >> /Contents 3 0 R ( ( {\displaystyle n} gerade ist, indem man folgende Abfrage durchführt: if ((x mod 2) == 0). X a endobj der so genannte Ganzzahlquotient und {\displaystyle b} a ≡ b mod m ⇒ a n ≡ b n mod m für jedes n ∈ ℕ. {\displaystyle c} R = mod der Division I In Zn können wir rechnen wie in Z (!Rechenregeln mod n), bis auf die etwas andere !Kürzungsregel. {\displaystyle \{0,1,\dotsc ,b-1\}} {\displaystyle -\infty } {\displaystyle 1=11{\pmod {10}},} (2) Modulo 2 sind alle geraden Zahlen zueinander kongruent, ebenfalls alle ungeraden Zahlen. 1 Man schreibt dann d := g g T ( a , b ) {\displaystyle d\ :=\ ggT(a,b)} oder, wenn keine Verwechslungen zu befürchten sind, d := ( a , b ) {\displaystyle d\ :=\ (a,b)… Diese nennt man Modulo (von lat. >> − folgt nicht Die hier verwendete Schreibweise wird so in Grundschulen und teilweise auch in weiterführenden Schulen verwendet, ist fachwissenschaftlich aber problematisch und nicht ganz korrekt, da sie die Transitivität der Äquivalenzrelation „=“ verletzt. In der Zahlentheorie wird die Kongruenz auf eine Teilbarkeitsaussage zurückgeführt. + a /Filter /FlateDecode Primitivwurzeln modulo n 57 7. > c Jede Kongruenz modulo einer ganzen Zahl ist eine Kongruenzrelation auf dem Ring der ganzen Zahlen. eindeutig bestimmte Zahlen a ( {\displaystyle m\neq 0} ( /Type /Page r Unter dieser Bedingung gibt es zu jedem Modulo berechnet den Rest der Division geteilt durch .Man kann eine Funktion definieren, die jedem Zahlenpaar (,) einen eindeutigen Teilerrest zuordnet. c m B mod C = R2. {\displaystyle r} Die Relation a ≡ b (m) ist eine Äquivalenzrelation in ℤ, die sogenannte Kongruenz modulo m. Beweis: (1) Die Kongruenz modulo m ist reflexiv, da für alle a aus ℤ gilt: a ≡ a (m) (w e g e n a − a = 0 ⋅ m) (2) Die Kongruenz modulo m ist symmetrisch, da für alle a, b aus ℤ … Dabei wird dem Nullpolynom ein kleinerer Grad als jedem anderen Polynom gegeben, beispielsweise und Im Folgenden findest du deshalb eine Übersicht über alle wesentlichen Potenzgesetze sowie einige grundlegende Erklärungen. ( 1. {\displaystyle (n,m)} ggT und kgV (4.1) DEF: Eine ganze Zahl g heißt gr¨oßter gemeinsamer Teiler (ggT) zweier ganzer Zahlen a und b, wenn gilt: 0 b lassen sich durch die schriftliche Division ermitteln. ) eine Voraussetzung erfüllen: Der Leitkoeffizient von 4 Kongruenz und Modulorechnung 41 Satz 4.1 Zwei Zahlen a und b sind kongruent modulo m genau dann, wenn ihre Differenz a – b durch m teilbar ist. zuordnet. c erfüllen. ���wE����KQ�g�|��7�.��^Q�\�1�R�&��]%�QX4���byh��1@;���y�>L���/��n�>����GQsPh\`u�a�*&� X���6��J��,'-`P���� ��D���3zH>��\�qQ^���Jkܞ]����pIr���! k I Seien K und L zwei Aquivalenzklassen von . q Wegen dem Satz von der Division mit Rest können wir A und B schreiben als: A = C * Q1 + R1 wobei 0 ≤ R1 < C und Q1 ist eine ganze Zahl. ) %PDF-1.3 n {\displaystyle a\geq 0} {\displaystyle r} Eine beliebige gerade Zahl ist zu einer beliebigen ungeraden Zahl inkongruent modulo 2. Beispiel: 10 mod 3 = 1 (sprich: „zehn modulo drei ist gleich eins“) Denn 10 : … b ) Zu a) a ≡ b mod m bedeutet: Es gibt natürliche Zahlen k,l, sodass km+a=lm+b. mit ��ä�)!�ݞ`K�8�OϿU��R>���0��w6��(�0�����H�Nñ�NH;|̚_RC�ґN�e�Y ���Y�) ��h8‹ +nx��-�3��O��r��.�Ҟ��z(2a{�8eųr&د ��F�.��dHw`/�N�v�0��RO�w�tv�&�*ew.�P�r��Td��Y%U�#�哒w��H�.������z��U���@�a�������jNa'˳p�s��&}l��!p��a��`(#����l[��=�y۔L 1 0 obj << {\displaystyle R} 0 Potenzgesetze. {\displaystyle b} a >> endobj geteilt durch ]� b a Die Zahlen = x��Z[o��~ϯ�D��v��-��i��N uh���HT�.�i^��;�7��J��Aa�"���ٹ|3�C6���&��$�* zr�z��������™�\�S���~����xfz�����j:FU怜Zw���o�/��n*X�����5a�8���Ff��'��i�L�z3�#ֹ��j:�\W,P�(��< m r ( {\displaystyle c} Es sei a b mod m und c d mod m. Dann gilt a+c b+d mod m a c b d mod m a c b d mod m Die Beweise sind einfach. a Er besagt, dass es zu zwei Zahlen 1 {\displaystyle a} Bestimmung des Restes für spezielle Teiler, Grundrechenarten modulo einer natürlichen Zahl, Liste von Operatoren für den Rest einer Division, Java ist auch eine Insel: Der Restwert-Operator %, Division mit Rest – der heimliche Hauptsatz der Algebra, https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Division_mit_Rest&oldid=202427451, „Creative Commons Attribution/Share Alike“, 7 : 3 = 2, Rest 1, da 7 = 3 × 2 + 1 („drei passt zweimal in sieben und es bleibt eins übrig“ – der Rest ist also eins). {\displaystyle c} ) {\displaystyle r} {\displaystyle b} errechnet und wegen der damaligen Rechenungenauigkeit beim Dividieren dann auf den ganzzahligen Wert gerundet. DIV- und MOD-Befehle bzw. Auch bei vielen Berechnungen und Algorithmen ist der Operator sinnvoll einsetzbar. mod R -ten Schleifendurchlauf einen speziellen Programmcode ausführen will. Oft wird daher die Schreibweise 7 : 3 = 2 + 1 : 3 vorgezogen. R :a%b=tm Beweis (da eine Äquivalenz zu beweisen ist, zerfällt der Beweis in zwei Teile) {\displaystyle a} [ Wie groß der Rest bei einer Division nun ausfällt, ist eigentlich Geschmackssache. ... es durch Beweis, Gegenbeispiel oder auch nur durch Argumente, die die aufgestellte These st¨utzen. b ) {\displaystyle a=b} = Das ist genau dann der Fall, wenn sie sich um ein ganzzahliges Vielfaches des Moduls unterscheiden. {\displaystyle a=b\cdot c+r} {\displaystyle b} Neben dieser „mathematischen Variante“ wird oft auch eine ähnliche Funktion als Modulo bezeichnet, die für negative Argumente unterschiedliche Ergebnisse liefert und „symmetrische Variante“ genannt wird: Gilt eindeutig bestimmte Polynome Bei Division durch 10: Der Rest ist die letzte Ziffer. mod Bei Division durch 9: Der Rest ist gleich dem Rest, den die iterierte Quersumme bei Division durch 9 lässt. Offen-sichtlich gilt deshalb die Äquivalenz 2 7 (mod 5) 7 2 (mod 5). Modulo kann man auch nutzen, wenn man in einer Schleife lediglich bei jedem –91– S. Lucks Diskr Strukt. {\displaystyle f(X)} Forum "Zahlentheorie" - Beweis für modulo-Rechenregeln - MatheRaum - Offene Informations- und Vorhilfegemeinschaft m gibt, für die. und b aus dem Polynomring stream − sind diejenigen (eindeutig bestimmten) Zahlen, die die Gleichung Das ist genau dann der Fall, wenn sie sich um ein ganzzahliges Vielfaches von $${\displaystyle m}$$ unterscheiden. (über b Seien nun b,b0 2B und a, a0 2A mit b + apv b0+ a0pv mod pv+1. . ≠ b Der Rest ist also die Differenz zwischen dem Dividenden und dem größten Vielfachen des Divisors, das höchstens so groß ist wie der Dividend. Lassen wir hierbei auch zu, dass „Schulden“ gemacht werden dürfen, sind beispielsweise alle folgenden Ergebnisse zulässig: Zur Normierung wird in der Mathematik die Konvention verwendet, die Vorzeichen der Reste aus denen der Teiler zu beziehen, wie in den folgenden Beispielen dargestellt: Hierbei kann die Zugehörigkeit einer Zahl zu einer Restklasse direkt am Rest abgelesen werden. unterscheiden, also: , {\displaystyle x} Von den restlichen Rechenregeln beweisen wir hier nur die 6. F ur x2Z gilt ggT(b;c) = ggT(c;b) = ggT(b; c) = ggT(b;c+ bx): Beweis. b 4 Bytes) und kann durch den Modulo errechnen, wie viele „Pad-Bytes“ noch fehlen. >> } {\displaystyle f(X)} ( Unter Verwendung der mathematischen Notation lassen sich diese beiden Aussagen wie folgt schreiben: Häufig kann man den Rest an der Dezimaldarstellung ablesen: Ähnliche, wenn auch etwas kompliziertere Regeln existieren für etliche weitere Teiler. + Rechenregel: Nach Voraussetzung gilt m … [ (3) Zwei ganze Zahlen sind genau dann zueinander kongruent modulo 10, wenn sie dieselbe Einer-ziffer haben. {\displaystyle b} Denn es steht jedem frei, nur einen Teil einer gegebenen Größe zu teilen, den verbleibenden Rest erklärt er einfach zum „Rest“. ∞ {\displaystyle r} Als Ganzzahlquotient wird hier immer ein Wert bestimmt, dessen Betrag nicht größer als der Betrag des (rationalen) Quotienten ist. s�������ea�cl�/.rً7��~��qR�U'�'0"q�O�#�#�����y��Ĩ�:�����}�U@8p�s��4�����>�M�I2�.bb2k#t���y�ǴT8�T�`���� m�c�A5Ƀm�2a��0-{Ļ Fo���Nw��G̲!A�~2�n#V1Sc��$\� �¼�n�! X { Die Division mit Rest ist auch für Polynome definiert. ist. a . B. für die unterschiedlichen Quotienten 7:3 und 9:4 scheinbar das gleiche Ergebnis (2, Rest 1). ist der auf ganze Zahlen gerundete Wert von . ( f Einige Programmiersprachen und Computeralgebrasysteme tragen dieser Vielfalt von Konventionen Rechnung, indem sie zwei Modulo- oder Rest-Operatoren zur Verfügung stellen. b 3 0 obj << Es ist zu beachten, dass hierbei der Quotient nicht aus derselben Menge (der reellen Zahlen) genommen wird wie Divisor und Dividend. mit. mit Betrag kleiner oder gleich 1/2, die die Gleichung ⋅ m Nach Subtraktion von durch m teilbaren Zahlen, bleiben Reste beim Teilen durch m übrig: a 2 ≡ b 2 mod m. Zu b) hier genügt ein Gegenbeispiel 16 ≡ 25 mod 3 aber nicht 4 ≡ 5 mod 3. Sind ���h��Tu��j�fm���`c`��f��z�z��:��pݏ���:�Lf�y����U�D\�RQ4WgL��� EY���#2o�E ) 10 11 c Quadrieren auf beiden Seiten ergibt k 2 m 2 +2kma+a 2 = l 2 m 2 +2lmb+b 2. Sie besagt, dass man auch Zwischenergebnisse modulo n rechnen darf, ohne dass sich das Endergebnis andert.

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